已知a,b,c分别是三角形ABC的角A、B、C所对边,且a,b,c成等差数列,公差d≠0;(1)求证:1a,1b,1c不可能成等差数列.(2)求证:0°<B<60°.-高二数学

题目简介

已知a,b,c分别是三角形ABC的角A、B、C所对边,且a,b,c成等差数列,公差d≠0;(1)求证:1a,1b,1c不可能成等差数列.(2)求证:0°<B<60°.-高二数学

题目详情

已知a,b,c分别是三角形ABC的角A、B、C所对边,且a,b,c成等差数列,公差d≠0;
(1)求证:
1
a
1
b
1
c
不可能成等差数列.
(2)求证:0°<B<60°.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:假设class="stub"1
a
,class="stub"1
b
,class="stub"1
c
成等差数列,则有class="stub"1
b
-class="stub"1
a
=class="stub"1
c
-class="stub"1
b
,从而class="stub"a-b
ab
=class="stub"b-c
bc

因为a,b,c成等差数列,d≠0;所以a-b=b-c=-d,
class="stub"-d
ab
=class="stub"-d
bc
,从而ab=bc即a=c,这与已知d≠0相矛盾.
所以class="stub"1
a
,class="stub"1
b
,class="stub"1
c
不可能成等差数列.
(2)∵
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-(class="stub"a+c
2
)
2
2ac
=
4(a2+c2)-(a+c)2
8ac

=
3(a2+c2)-2ac
8ac
>class="stub"6ac-2ac
8ac
=class="stub"1
2

又因为B为三角形内角,所以,0°<B<60°.

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