已知a+b+c=1a+1b+1c=1,求证a、b、c中至少有一个等于1.-数学

题目简介

已知a+b+c=1a+1b+1c=1,求证a、b、c中至少有一个等于1.-数学

题目详情

已知a+b+c=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1
,求证a、b、c中至少有一个等于1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:本题即要证明 a-1、b-1、c-1中至少有一个为零.
a+b+c=class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
=1
,∴(a+b+c)(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)=1,
∴(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc=0,∴(a+b+c)[b(a+c)+ac(a+b+c)]-abc=0,
∴(a+b+c)b(a+c)+ac(a+c)=0,∴(a+c)(ab+b2+bc+ac)=0,
∴(a+c)(a+b)(b+c)=0,∴(1-b)(1-c)(1-a)=0,
故1-b、1-c、1-a中至少有一个等于0,∴a,b,c 中至少有一个等于1.

更多内容推荐