已知:x,y,z∈(0,1),求证:(1-x)y,(1-y)z,(1-z)x不可能都大于14.-数学

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已知:x,y,z∈(0,1),求证:(1-x)y,(1-y)z,(1-z)x不可能都大于14.-数学

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已知:x,y,z∈(0,1),求证:(1-x)y,(1-y)z,(1-z)x不可能都大于
1
4
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:假设三个式子都大于class="stub"1
4

即(1-x)y>class="stub"1
4
,(1-y)z>class="stub"1
4
,(1-z)x>class="stub"1
4

三个式子相乘得:
(1-x)y•(1-y)z•(1-z)x>class="stub"1
43
      ①
∵0<x<1∴x(1-x)≤(class="stub"x+1-x
2
)2=class="stub"1
4

同理:y(1-y)≤class="stub"1
4
,z(1-z)≤class="stub"1
4

∴(1-x)y•(1-y)z•(1-z)x≤class="stub"1
43
  ②
显然①与②矛盾,所以假设是错误的,故原命题成立.

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