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一个建设集团公司共有3n（n≥2，n∈N*）个施工队，编号分别为1，2，3，…3n．现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第i（1≤i≤3n）个施工队每天完成的工作量都-高二数学

题目简介

一个建设集团公司共有3n（n≥2，n∈N*）个施工队，编号分别为1，2，3，…3n．现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第i（1≤i≤3n）个施工队每天完成的工作量都-高二数学

题目详情

一个建设集团公司共有3n（n≥2，n∈N*）个施工队，编号分别为1，2，3，…3n．现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第i（1≤i≤3n）个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i天才能独立完成此项工程．
（1）求证第n个施工队用m（1≤m＜n，m∈N*）天完成的工作量不可能大于第n+k（1≤k≤2n）个施工队用m+k天完成的工作量；
（2）如果该集团公司决定由编号为n+1，n+2，…，3n共2n个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）依题意，第i（1≤i≤3n）个施工队的工作效率为class="stub"1
i
…1分
故本题即是证明当1≤m＜n，m∈N*且1≤k≤2n时，class="stub"m
n
＜class="stub"m+k
n+k
…3分
∵class="stub"m
n
-class="stub"m+k
n+k
=class="stub"mn+mk-mn-nk
n(n+k)
=
(m-n)k
n(n+k)

当1≤m＜n，m∈N*且1≤k≤2n时，
(m-n)k
n(n+k)
＜0显然成立，故命题得证．…6分
（2）要证明此命题，即是证明2（class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
3n
）＞1（n≥2，n∈N*），
也就是证明：class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
3n
＞class="stub"1
2
（n≥2，n∈N*）．…9分
[法一]：利用数学归纳法：
（1）当n=2时，左边=class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
＞class="stub"1
2
，不等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立．
即class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
+…+class="stub"1
3k
＞class="stub"1
2
．
则当n=k+1时，
class="stub"1
k+1+1
+class="stub"1
k+1+2
+…+class="stub"1
3k
+class="stub"1
3k+1
+class="stub"1
3k+2
+class="stub"1
3k+3
=class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
+…+class="stub"1
3k
+（class="stub"1
3k+1
+class="stub"1
3k+2
+class="stub"1
3k+3
-class="stub"1
k+1
）＞class="stub"1
2
+（3×class="stub"1
3k+3
-class="stub"1
k+1
）=class="stub"1
2
．
所以当n=k+1时不等式也成立，
由（1），（2）知原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．…14分
[法二]利用放缩法：
∵n≥2，
∴class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
3n
＞class="stub"1
3n
+class="stub"1
3n
+…+class="stub"1
3n
=class="stub"2
3
＞class="stub"1
2
．
即class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
3n
＞class="stub"1
2
（n≥2，n∈N*）．…14分．

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