首页 > 对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞3a，用数列{xn}可以计算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100

对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞3a，用数列{xn}可以计算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100

题目简介

对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞3a，用数列{xn}可以计算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100

题目详情

对于给定首项x0＞
3a
（a＞0），由递推公式xn+1=
1
2
（xn+
a
xn
）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞
3a
，用数列{xn}可以计算
3a
的近似值．
（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：xn-xn+1＜
1
2
（xn-1-xn）；
（3）当x0∈[5，10]时，用数列{xn}计算
3100
的近似值，要求|xn-xn+1|＜10-4，请你估计n，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：上海

答案

（1）∵x0=5，a=100，xn+1=class="stub"1
2
（xn+
class="stub"a
xn
）
∴x1=class="stub"1
2
（5+
class="stub"100
5
）≈4.74
同理可得x2≈4.67，x3≈4.65
猜想xn＞xn+1；
（2）证明：xn-xn+1-class="stub"1
2
（xn-1-xn）=xn-class="stub"1
2
class="stub"a
xn
-class="stub"1
2
xn-1=
a
2
•
xn
-
xn-1
xn-1xn

∵xn＞
3a
；
∴xn-xn+1=class="stub"1
2
(xn-
class="stub"a
xn
)=class="stub"1
2
•
xn3
-
a
xn
＞0
∴xn＞xn+1
∴xn-xn+1＜class="stub"1
2
(xn-1-xn)；
（3）由（2）知0＜xn-xn+1＜class="stub"1
2
(xn-1-xn)＜…＜class="stub"1
2n
(x0-x1)
由题意，只要class="stub"1
2n
(x0-x1)＜10-4，即2n＞104（x0-x1）
∵x0-x1=class="stub"1
2
(x0-class="stub"10
x0
)
∴n＞log2(104•
10-
10
2
)=15.1
∴n=16．

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