已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:.-高二数学

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已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:.-高二数学

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已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:
题型:解答题难度:中档来源:陕西省期末题

答案

证明:要证原不等式成立,只需证(a+b+c)2≥3,
即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,
又ab+bc+ca=1.
所以,只需证:a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2﹣1≥0,
因为ab+bc+ca=1.所以,只需证:a2+b2+c2﹣(ab+bc+ca)≥0,
只需证:2a2+2b2+2c2﹣2(ab+bc+ca)≥0,
即(a﹣b)2+(b﹣c)2 +(c﹣a)2 ≥0,
而(a﹣b)2 +(b﹣c)2+(c﹣a)2 ≥0显然成立.

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