已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·…an<2·n!-高三数学

题目简介

已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·…an<2·n!-高三数学

题目详情

已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·…an<2·n!
题型:解答题难度:偏难来源:江西省高考真题

答案

解:(1)将条件变为:
因此一个等比数列,其首项为,公比
从而
据此得 ①;
(2)据①得
为证a1·a2·…an<2·n!
只要证n∈N*时有 ②
显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n∈N*,有  ③
用数学归纳法证明③式:
(i)n=1时,③式显然成立,
(ii)设n=k时,③式成立

则当n=k+1时,


即当n=k+1时,③式也成立
故对一切n∈N*,③式都成立。
利用③得

故②式成立,从而结论成立。

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