已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．-高三数学

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已知函数f（x）=e^x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：
．

题型：解答题难度：偏难来源：吉林省模拟题

答案

（1）解：由题意a＞0，f ′（x）=ex﹣a，
由f′（x）=ex﹣a=0得x=lna．
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，
其最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．
由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0 得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有ex﹣x﹣1≥0，即1+x≤ex．
令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．
∴．
∴
=．

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已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．-高三数学

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