不等式选讲:已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+14b2+19c2+m-1=0.(Ⅰ)求证:a2+14b2+19c2≥(a+b+c)214;(Ⅱ)求实数m的取值范围.-数学

题目简介

不等式选讲:已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+14b2+19c2+m-1=0.(Ⅰ)求证:a2+14b2+19c2≥(a+b+c)214;(Ⅱ)求实数m的取值范围.-数学

题目详情

不等式选讲:
已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0

(Ⅰ)求证:a2+
1
4
b2+
1
9
c2
(a+b+c)2
14

(Ⅱ)求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:由柯西不等式得[a2+(class="stub"1
2
b)
2
+(class="stub"c
3
)
2
]•[12+22+32]≥(a+b+c)2,…2分
(a2+class="stub"1
4
b2+class="stub"1
9
c2)×14
≥(a+b+c)2,∴a2+class="stub"1
4
b2+class="stub"1
9
c2
(a+b+c)2
14
.…4分
(Ⅱ)由已知得a+b+c=2m-2,a2+class="stub"1
4
b2+class="stub"1
9
c2=1-m
,∴14(1-m)≥(2m-2)2,
∴2m2+3m-5≤0,∴-class="stub"5
2
≤m≤1.…6分
a2+class="stub"1
4
b2+class="stub"1
9
c2=1-m
≥0,∴m≤1.
综上可得,-class="stub"5
2
≤m≤1,即实数m的取值范围为[-class="stub"5
2
,1].…7分

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