首页 > 已知x，y，z∈R+，求证：（1）（x+y+z）3≥27xyz；（2）(xy+yz+zx)(yx+zy+xz)≥9；（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．-数学

已知x，y，z∈R+，求证：（1）（x+y+z）3≥27xyz；（2）(xy+yz+zx)(yx+zy+xz)≥9；（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．-数学

题目简介

已知x，y，z∈R+，求证：（1）（x+y+z）3≥27xyz；（2）(xy+yz+zx)(yx+zy+xz)≥9；（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．-数学

题目详情

已知x，y，z∈R+，求证：
（1）（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）(
x
y
+
y
z
+
z
x
)(
y
x
+
z
y
+
x
z
)≥9；  
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
3xyz
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R+，∴class="stub"x
y
+class="stub"y
z
+class="stub"z
x
≥3
3class="stub"x
y
?class="stub"y
z
?class="stub"z
x
=3，class="stub"y
x
+class="stub"z
y
+class="stub"x
z
≥3
3class="stub"y
x
?class="stub"z
y
?class="stub"x
z
=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得(class="stub"x
y
+class="stub"y
z
+class="stub"z
x
)(class="stub"y
x
+class="stub"z
y
+class="stub"x
z
)≥9；
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
3xyz
，x2+y2+z2≥3
3x2y2z2
，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

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