已知函数f(x)=mx2+m-22x(m>0).若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,(1)求m取值范围;(2)证明:2ln2+3ln3+…+nlnn≤2n3+3n2-5n12(n∈N*)

题目简介

已知函数f(x)=mx2+m-22x(m>0).若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,(1)求m取值范围;(2)证明:2ln2+3ln3+…+nlnn≤2n3+3n2-5n12(n∈N*)

题目详情

已知函数f(x)=
mx
2
+
m-2
2x
 (m>0)
.若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,
(1)求m取值范围;
(2)证明:2ln2+3ln3+…+nlnn
2n3+3n2-5n
12
(n∈N*).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意,令g(x)=lnx-class="stub"mx
2
-class="stub"m-2
2x
+m-1≤0
在x∈[1,+∞)上恒成立
  g(x)=class="stub"1
x
-class="stub"m
2
+class="stub"m-2
2x2
=
-(x-1)(mx+m-2)
2x2
…4分
-1<class="stub"2
m
-1≤1
时,即m≥1时g′(x)≤0在[1,+∞)恒成立,∴g(x)在其上递减.
∵gmax=g(1)≤0
∴原式成立.
class="stub"2
m
-1>1
,即0<m<1时,∵g(1)=0,gmax=g(class="stub"2
m
-1)>g(1)=0

∴不能恒成立.
综上:m≥1…9分
(2)证明:取m=1,则lnx≤class="stub"1
2
(x-class="stub"1
x
)
,∴xlnx≤
x2-1
2

令x=n,∴nlnn≤
n2-1
2

2ln2+3ln3+…+nlnn≤class="stub"1
2
[22+32+..+n2+1-n]

12+22+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

∴2ln2+3ln3+…+nlnn
2n3+3n2-5n
12
,原不等式成立…12分

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