首页 > （附加题）是否存在常数c，使得不等式x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤c≤xx+2y+z+yx+y+2z+z2x+y+z对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．-数学

（附加题）是否存在常数c，使得不等式x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤c≤xx+2y+z+yx+y+2z+z2x+y+z对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．-数学

题目简介

（附加题）是否存在常数c，使得不等式x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤c≤xx+2y+z+yx+y+2z+z2x+y+z对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．-数学

题目详情

（附加题）是否存在常数c，使得不等式
x
2x+y+z
+
y
x+2y+z
+
z
x+y+2z
≤c≤
x
x+2y+z
+
y
x+y+2z
+
z
2x+y+z

对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

猜测常数c=class="stub"3
4
（可以猜测等号当且仅当x=y=z时成立）
左边不等式的证明方法，令
2x+y+z=a
x+2y+z=b
x+y+2z=m
，则
x=class="stub"3a-b-m
4
y=class="stub"3b-a-m
4
z=class="stub"3m-a-b
4
，
∴左边=class="stub"3a-b-m
4a
+class="stub"3b-a-m
4b
+class="stub"3m-a-b
4m
=class="stub"9
4
-(class="stub"b
4a
+class="stub"a
4b
)-(class="stub"m
4a
+class="stub"a
4m
)-(class="stub"b
4m
+class="stub"m
4b
)≤class="stub"3
4

右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=class="stub"x
x+2y+z
+class="stub"y
x+y+2z
+class="stub"z
2x+y+z
=
x2
x2+2xy+xz
+
y2
yx+y2+2yz
+
z2
2xz+yz+z2

=
(
x2
x2+2xy+xz
+
y2
yx+y2+2yz
+
z2
2xz+yz+z2
)((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))
((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))
≥
(x+y+z)2
x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
，
于是要证明右边不等式成立，只需证明
(x+y+z)2
x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
≥class="stub"3
4
，
即证4（x+y+z）2≥3[x2+y2+z2+3（xy+yz+xz）}
即证：x2+y2+z2≥xy+yz+xz
即证：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0
显然成立，故问题得证．

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