首页 > 设函数f(x)=x33+a2x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f'（x）．（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b

设函数f(x)=x33+a2x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f'（x）．（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b

题目简介

设函数f(x)=x33+a2x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f'（x）．（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b

题目详情

设函数f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记F(n)=
1
f′(n)+2
，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
11
18
(n∈N*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n0，使得|f′(n0)|≤
1
4
？说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2）f′(n)=n2-n-3，F(n)=class="stub"1
f′(n)+2
=class="stub"1
n2-n-1
，
当n=1时，F(1)=-1＜class="stub"11
18
；当n=2时，F(1)+F(2)=-1+1=0＜class="stub"11
18
；
当n≥3时，F(n)=class="stub"1
n2-n-1
＜class="stub"1
n2-n-2
=class="stub"1
(n+1)(n-2)
=class="stub"1
3
(class="stub"1
n-2
-class="stub"1
n+1
)．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+class="stub"1
3
[(1-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
6
)+…+(class="stub"1
n-2
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"1
3
[1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
]＜class="stub"11
18

=class="stub"1
3
（1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
 ）＜class="stub"1
3
 （1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
 ）=class="stub"11
18
，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜class="stub"11
18
(n∈N*）．…（9分）
（3）根据题设，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)≤[
(α-1)+(2-α)
2
]2[
(β-1)+(2-β)
2
]2=class="stub"1
16
，
∴0＜|f′(1)|≤class="stub"1
4
，或0＜|f′(2)|≤class="stub"1
4
，所以存在n0=1或2，使|f′(n0)|≤class="stub"1
4
．…（13分）．

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