设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:an+1+an+4<an+2+an+3.-数学

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设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:an+1+an+4<an+2+an+3.-数学

题目详情

设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:
an+1
+
an+4
an+2
+
an+3
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:∵{an}是等差数列,∴an+k=an+kd.    (2分)
要证
an+1
+
an+4
an+2
+
an+3

只要证
an+d
+
an+4d
an+2d
+
an+3d

只要证an+d+2
(an+d)(an+4d)
+an+4d<an+2d+2
(an+2d)(an+3d)
+an+3d

∵an>0,∴只要证(an+d)(an+4d)<(an+2d)(an+3d)(2分)
只要证an2+5dan+4d2<an2+5dan+6d2,只要证d2>0.    (2分)
∵已知d≠0,∴d2>0成立,故
an+1
+
an+4
an+2
+
an+3
.    (2分)

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