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设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy．-数学

题目简介

设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy．-数学

题目详情

设x≥1，y≥1，证明：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：要证x+y+class="stub"1

xy

≤class="stub"1

x

+class="stub"1

y

+xy，
只需证明class="stub"1

xy

-class="stub"1

x

-class="stub"1

y

≤xy-x-y，
只需证明(1-class="stub"1

x

)(1-class="stub"1

y

)≤(1-x)(1-y)=（x-1）（y-1），
只需证明1-class="stub"1

x

≤x-1；1-class="stub"1

y

≤y-1，
即证x+class="stub"1

x

≥2，y+class="stub"1

y

≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+class="stub"1

xy

≤class="stub"1

x

+class="stub"1

y

+xy得证．

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