设函数，（a∈R）．（1）若a=1，证明：当x＞﹣1时，f（x）≥0；（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）设n∈N且n＞1求证：．-高三数学

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设函数，（a∈R）．
（1）若a=1，证明：当x＞﹣1时，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N且n＞1求证：．

题型：解答题难度：中档来源：四川省月考题

答案

（1）证明：a=1时，x＞﹣1时，f（x）≥0，即，
亦即1﹣（x+1）e﹣x≥0，即ex≥x+1
因此只要证当x＞﹣1时，ex≥x+1
构造函数g（x）=ex﹣x﹣1，
∴g′（x）=ex﹣1
当x≥0时，g′（x）≥0；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0
∴g（x）在[0，+∞）上单调增，（﹣1，0]上单调减
∴g（x）min=g（0）=0
∴g（x）≥0，即当x＞﹣1时，ex≥x+1
∴当x＞﹣1时，f（x）≥0；
（2）解：f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，等价于x≥0时，恒成立
∵1﹣e﹣x∈[0，1），
∴
∴若x=0时，0=0，此时a∈R；
若x＞0，ax+1＞0，
∴，
∴a≥0 ∴a≥0，
x≥0时，恒成立，等价于（1﹣e﹣x）（ax+1）﹣x≤0恒成立
令h（x）=（1﹣e﹣x）（ax+1）﹣x，
∴h′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1
∴h″（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1）
∵a≥0，x≥0，
∴h″（x）≤（2a﹣1）e﹣x
①若2a﹣1≤0，即时，h″（x）≤0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调减，
∴h′（x）≤h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调减，
∴h（x）≤h（0）=0，
∴f（x）≤0，满足题意；
②若2a﹣1＞0，即时，当时，h''（x）＞0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，
∴h′（x）＞h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴f（x）＞0，不满足题意；
综上知，实数a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当a=时，，
∴，
当x∈（0，2）时，，
∴令，
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴

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设函数，（a∈R）．（1）若a=1，证明：当x＞﹣1时，f（x）≥0；（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）设n∈N且n＞1求证：．-高三数学

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