设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).(1)求f(x)的单调区间;(2)若当时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好

题目简介

设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).(1)求f(x)的单调区间;(2)若当时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好

题目详情

设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).
(1)求f (x)的单调区间;
(2)若当时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.

题型:解答题难度:偏难来源:四川省月考题

答案

解:(1)函数的定义域为(﹣1,+∞).

由f '(x)>0,得x>0;
由f '(x)<0,得﹣1<x<0.
∴f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(﹣1,0).
(2)∵由,得
x=0,x=﹣2(舍去)
由(1)知f(x)在上递减,在[0,e﹣1]上递增.
,f(e﹣1)=e2﹣2,且
∴当时,f(x)的最大值为e2﹣2.
故当m>e2﹣2时,不等式f(x)<m恒成立.
(3)方程f(x)=x2+x+a,x﹣a+1﹣2ln(1+x)=0.
记g(x)=x﹣a+1﹣2ln(1+x),

由g'(x)>0,得x>1或x<﹣1(舍去).
由g'(x)<0,得﹣1<x<1.
∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.
为使方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实数根,
于是有
∵2﹣2ln2<3﹣2ln3,
∴实数a的取值范围是2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3.

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