设函数(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.-高三数学

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设函数(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.-高三数学

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设函数
(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;
(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:河南省期末题

答案

解:(1)函数的导数f'(x)=2x﹣=
∵函数f(x)在其定义域内是减函数
∴f'(x)≤0在上恒成立
又∵时,2x+1>0
∴不等式2x2+x﹣a≤0在上恒成立,
即a≥2x2+x在上恒成立
令g(x)=2x2+x,
则g(x)max=g(1)=3
∴a≥3(2)
∵f'(x)=
令f'(x)=0
解得
由于a>0,

①当即0<a<3时,在上f'(x)<0;
在(x2,1)上f'(x)>0,
∴当时,函数f(x)在上取最小值.
②当即a≥3时,在[]上f'(x)≤0,
∴当x=1时,函数f(x)在[]上取最小值.
由①②可知,当0<a<3时,函数f(x)在时取最小值;当a≥3时,函数f(x)在x=1时取最小值.

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