已知函数f(x)=lnx+ax.(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB

题目简介

已知函数f(x)=lnx+ax.(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB

题目详情

已知函数f(x)=lnx+ax.
(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)对一切x>0,f(x)≤1恒成立,即对一切x>0,lnx+ax≤1恒成立,∴a≤class="stub"1
x
-class="stub"lnx
x

令g(x)=class="stub"1
x
-class="stub"lnx
x
,则g′(x)=class="stub"lnx-2
x2

令g′(x)<0,可得0<x<e2;令g′(x)>0,可得x>e2,
∴x=e2时,g(x)取得最小值g(e2)=-class="stub"1
e2

∴a≤-class="stub"1
e2

(II)证明:由题意,k=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
lnx2-lnx1
x2-x1
+a

要证明存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立,只要证明f′(x)-k=0在(x1,x2)内有解即可
令h(x)=f′(x)-k=class="stub"1
x
-
lnx2-lnx1
x2-x1
,只要证明h(x)在(x1,x2)内存在零点即可
∵h(x)在(x1,x2)内是减函数,只要证明h(x1)>0,h(x2)<0
即证
x2
x1
-1-ln
x2
x1
>0,
x1
x2
-1-ln
x1
x2
>0
令F(t)=t-1-lnt(t>0),∵F′(t)=1-class="stub"1
t
,∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴函数在t=1时,取得最小值0,∴F(t)≥0
x1
x2
>0且
x1
x2
≠1
x2
x1
>0且
x2
x1
≠1
x2
x1
-1-ln
x2
x1
>0,
x1
x2
-1-ln
x1
x2
>0
∴结论成立.

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