首页 > 下列等式：①C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n•2n-1②C1n-2C2n+3C3n+…+(-1)n-1nCnn=0③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1④C0nCn

下列等式：①C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n•2n-1②C1n-2C2n+3C3n+…+(-1)n-1nCnn=0③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1④C0nCn

题目简介

下列等式：①C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n•2n-1②C1n-2C2n+3C3n+…+(-1)n-1nCnn=0③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1④C0nCn

题目详情

下列等式：
①
C1n
+
2C2n
+
3C3n
+…+
nCnn
=n•2n-1
②
C1n
-
2C2n
+
3C3n
+…+(-1)n-1
nCnn
=0
③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1
④
C0n
C		nn
+
C1n
C		n-1n
+
C2n
C		n-2n
+…+
Cnn
C		nn
=
(2n)!
n!×n!

其中正确的个数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
题型：单选题难度：偏易来源：不详

答案

∵（1+x）n=1+
C1n
x+
C2n
x2+…+
Cnn
xn，两边同时对x求导数，可得
n（1+x）n-1=
C1n
+2x
C2n
+3x2
C3n
+…+nxn-1
Cnn
，（A）
再令x=1，可得n2n-1=
C1n
+2
C2n
+3
C3n
+…+n
Cnn
，故①正确．
在（A）式中，令x=-1，可得0=
C1n
+2
C2n
+3
C3n
+…+n
Cnn
，故②正确．
∵k•k!=[（k+1）-1]•k!=（k+1）!-k!，
∴1×1!+2×2!+3×3!+…+n•n!=[2!-1!]+[3!-2!]+[4!-3!]+…+[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1，
故③正确．
∵等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n成立，
利用二项式定理可得等式左边xn的系数为
C0n
C		nn
+
C1n
C		n-1n
+
C2n
C		n-2n
+…+
Cnn
•
C0n

=
(C0n
)2+
(C1n
)2+
(C2n
)2+…+
(Cnn
)2．
而等式右边利用二项式定理可得xn的系数为
Cn2n
=
(2n)!
(2n-n)!•n!
=
(2n)!
n!•n!
，
故
C0n
C		nn
+
C1n
C		n-1n
+
C2n
C		n-2n
+…+
Cnn
C		nn
=
(2n)!
n!×n!
成立，
故④正确．
故选D．

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