首页 > 已知二项式(x2-13x)n(n∈N*)的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1．（Ⅰ）求展开式中所有的有理项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项．-高二数学

已知二项式(x2-13x)n(n∈N*)的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1．（Ⅰ）求展开式中所有的有理项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项．-高二数学

题目简介

已知二项式(x2-13x)n(n∈N*)的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1．（Ⅰ）求展开式中所有的有理项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项．-高二数学

题目详情

已知二项式(
x
2
-
1
3x
)n(n∈N*)的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1．
（Ⅰ）求展开式中所有的有理项；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）二项式(class="stub"x
2
-class="stub"1
3x
)n的通项公式为：Tr+1=（-1）r•(class="stub"1
2
)n-r•
Crn
•xn-class="stub"4r
3
（0≤r≤n，r∈N*），
∵第3项的系数与第1项的系数的比是144：1，
∴
(-1)2(class="stub"1
2
)n-2
C2n
(-1)0(class="stub"1
2
)n-0
C0n
=class="stub"144
1
，即
C2n
=36，解得n=9或n=-8（舍去）．
从而通项公式为：Tr+1=（-1）r•(class="stub"1
2
)9-r•
Cr9
•x9-class="stub"4r
3
（0≤r≤9，r∈N*），
当r=0，3，6，9时，所有的有理项为T1=x9；T4=-class="stub"21
16
x5；T7=21x；T10=-class="stub"1
x3
．
（Ⅱ）∵n=9，展开式共有10项，
∴二项式系数最大的项为T5=class="stub"63
16
xclass="stub"11
3
和T7=21x．
展开式中第r-1项，第r项，第r+1项的系数绝对值分别为：(class="stub"1
2
)10-r
Cr-19
，(class="stub"1
2
)9-r
Cr9
，(class="stub"1
2
)8-r
Cr+19
．
若第r项的系数的绝对值最大，则必须满足：
(class="stub"1
2
)9-r
Cr9
≥(class="stub"1
2
)10-r
Cr-19
(class="stub"1
2
)9-r
Cr9
≥(class="stub"1
2
)8-r
Cr+19
，即
2
Cr9
≥
Cr-19
Cr9
≥2
Cr+19
，
解得：class="stub"17
3
≤r≤class="stub"20
3
，又r∈N，所以r=6．
∴系数绝对值最大的项为T7=21x．

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