首页 > 已知函数f(x)=axx+b，且f（1）=1，f（-2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此

已知函数f(x)=axx+b，且f（1）=1，f（-2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此

题目简介

已知函数f(x)=axx+b，且f（1）=1，f（-2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此

题目详情

已知函数f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得
a=b+1
-2a=4b-8

解得：
a=2
b=1
（3分）
（2）由（1）f(x)=class="stub"2x
x+1
，
所以|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(class="stub"x
x+1
)2，
令x+1=t，t＜0，
则|AP|2=(t-2)2+4(1-class="stub"1
t
)2=t2+class="stub"4
t2
-4(t+class="stub"2
t
)+8
=(t+class="stub"2
t
)2-4(t+class="stub"2
t
)+4=(t+class="stub"2
t
-2)2
因为x＜-1，所以t＜0，
所以，当t+class="stub"2
t
≤-2
2
，
所以|AP|2≥(-2
2
-2)2，（8分）
即AP的最小值是2
2
+2，此时t=-
2
，x=-
2
-1
点P的坐标是(-
2
-1，2+
2
)．（9分）
（3）问题即为class="stub"2x
x+1
≤class="stub"2m
(x+1)|x-m|
对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤class="stub"m
|x-m|
对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为|x-m|≤class="stub"m
x
对x∈[1，2]恒成立，
即m-class="stub"m
x
≤x≤class="stub"m
x
+m对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，
①当x=1时，class="stub"1
2
≤m＜1或m＞2，
②当x≠1时，m≥
x2
x+1
且m≤
x2
x-1
对x∈（1，2]恒成立，
对于m≥
x2
x+1
对x∈（1，2]恒成立，等价于m≥(
x2
x+1
)max，
令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t-1，t∈（2，3]，
x2
x+1
=
(t-1)2
t
=t+class="stub"1
t
-2，t∈（2，3]递增，
∴(
x2
x+1
)max=class="stub"4
3
，m≥class="stub"4
3
，结合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
对于m≤
x2
x-1
对x∈（1，2]恒成立，等价于m≤(
x2
x-1
)min
令t=x-1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，
x2
x-1
=
(t+1)2
t
=t+class="stub"1
t
+2，t∈（0，1]递减，
∴(
x2
x-1
)min=4，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
综上：2＜m≤4（16分）
法二：问题即为class="stub"2x
x+1
≤class="stub"2m
(x+1)|x-m|
对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤class="stub"m
|x-m|
对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x2-mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
依题意g（2）≤m，m≥class="stub"4
3
，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故g(x)=x(m-x)=-(x-class="stub"m
2
)2+
m2
4
，
考虑到class="stub"m
2
＞1，再分两种情形：
（ⅰ）1＜class="stub"m
2
≤2，即2＜m≤4，g（x）的最大值是g(class="stub"m
2
)=
m2
4
，
依题意
m2
4
≤m，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ）class="stub"m
2
＞2，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
综上可得，2＜m≤4（16分）

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