己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1);②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一

题目简介

己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1);②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一

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己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x2)-f(x1)

②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)试证明函数f(x)是奇函数.
(2)试证明f(x)在(0,4a)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,x1,x2是定义域中的数时,
有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x2)-f(x1)

且x1-x2,-(x1-x2)在定义域中,
∴f[-(x1-x2)]=f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x1)-f(x2)
=-
f(x1)•f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
=-f(x1-x2);
∴f[-(x1-x2)]=-f(x1-x2)
⇒f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,
∵在(0,2a)上,f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,
进而知f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x1)-f(x2)
中,f(x1)-f(x2)<0,
于是f(x1)<f(x2),
∴在(0,2a)上,f(x)是增函数.
又f(a)=f(2a-a)=
f(2a )•f(a)+1
f(a )-f(2a)

∵f(a)=-1,∴-1=
f(2a )•f(a)+1
f(a )-f(2a)

∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
f(x-2a)=
f(x )•f(2a)+1
f(2a )-f(x)
=class="stub"1
-f(x)
<0,于是f(x)>0,
即在(2a,4a)上,f(x)>0.
设2a<x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,
从而知f(x1),f(x2)均大于零,f(x2-x1)<0,
∵f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1
f(x1)-f(x2)

∴f(x1)-f(x2)<0,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数.
综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数.

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