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二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=72，f（x）的最大值为92．（1）求a和b，c的值；（2）解不等式f[logc(x2+x+12)]

题目简介

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=72，f（x）的最大值为92．（1）求a和b，c的值；（2）解不等式f[logc(x2+x+12)]

题目详情

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=
7
2
，f（x）的最大值为
9
2
．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式f[logc(x2+x+
1
2
)]＜f[logc(2x2-x+
5
8
)]．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=class="stub"9
2
①且f（1）=a+b+c=class="stub"7
2
②，-class="stub"b
2a
=2③，联立①②③解得：
a=-1，b=4，c=class="stub"1
2
．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=class="stub"1
2
．
∴logclass="stub"1
2
(x2+x+class="stub"1
2
)=logclass="stub"1
2
[(x+class="stub"1
2
)2+class="stub"1
4
]≤2，logclass="stub"1
2
(2x2-x+class="stub"5
8
)=logclass="stub"1
2
[2(x-class="stub"1
4
)2+class="stub"1
2
]≤1，
由原不等式得：logclass="stub"1
2
(x2+x+class="stub"1
2
)＜logclass="stub"1
2
(2x2-x+class="stub"5
8
)⇔
x2+x+class="stub"1
2
＞0
2x2-x+class="stub"5
8
＞0
x2+x+class="stub"1
2
＞2x2-x+class="stub"5
8
⇔1-
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4
＜x＜1+
14
4
，

故原不等式的解集是{x|1-
14
4
＜x＜1+
14
4
}．

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