已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+2x+b(x≠-b)的图象经过点（1，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．-数学

题目简介

已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+

x+b

(x≠-b)的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：黄浦区一模

（1）由函数f(x)=ax+class="stub"2

x+b

(x≠-b)的图象过点(1，3)，知3=a+class="stub"2

1+b

，(3-a)(b+1)=2．…（2分）
又a、b均为正整数，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有

3-a=1

b+1=2

，即

a=2

b=1

．…（7分）
所以f(x)=2x+class="stub"2

x+1

（x≠-1）．…（8分）
（2）结论：f(x)=2x+class="stub"2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．…（9分）
证明设x1、x2是（-1，0]内的任意两个不相等的实数，且x1＜x2．…（10分）
则f(x1)-f(x2)=2x1+class="stub"2

x1+1

-(2x2+class="stub"2

x2+1

)…（11分）
=2(x1-x2)+

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

．…（13分）
又-1＜x1≤0，-1＜x2≤0，x1＜x2，故x1-x2＜0，1+x2＞0，x2+x1（1+x2）＜0．（14分）
于是，2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）．…（16分）
所以，函数f(x)=2x+class="stub"2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．