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设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．-数学

题目简介

设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．-数学

题目详情

设函数f（x）=|1-
1
x
|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-class="stub"1
a
|=|1-class="stub"1
b
|⇔（1-class="stub"1
a
）2=（1-class="stub"1
b
）2⇔2ab=a+b≥2
ab

故ab-
ab
≥0，即
ab
（
ab
-1）≥0，故
ab
-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=
class="stub"1
x
-1    x∈(0，1]
1-class="stub"1
x
    x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且class="stub"1
a
-1=1-class="stub"1
b
，
即class="stub"1
a
+class="stub"1
b
=2⇔a+b=2ab≥2
ab

故ab-
ab
≥0，即
ab
（
ab
-1）≥0，
故
ab
-1≥0，即ab＞1

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