首页 > 已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2，sinx2)，B(cos3x2，-sin3x2)，其中x∈[-π2，0].（Ⅰ）求|AB|的表达式；（Ⅱ）若OA•OB=13（O为坐标原点），求tanx的值；

已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2，sinx2)，B(cos3x2，-sin3x2)，其中x∈[-π2，0].（Ⅰ）求|AB|的表达式；（Ⅱ）若OA•OB=13（O为坐标原点），求tanx的值；

题目简介

已知A、B两点的坐标分别为A(cosx2，sinx2)，B(cos3x2，-sin3x2)，其中x∈[-π2，0].（Ⅰ）求|AB|的表达式；（Ⅱ）若OA•OB=13（O为坐标原点），求tanx的值；

题目详情

已知A、B两点的坐标分别为A(cos
x
2
，sin
x
2
)，B(cos
3x
2
，-sin
3x
2
)，其中x∈[-
π
2
，0].
（Ⅰ）求|
AB
|的表达式；
（Ⅱ）若
OA
•
OB
=
1
3
（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若f(x)=
AB
2+4λ|
AB
|(λ∈R)，求函数f（x）的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：石景山区一模

答案

（I）|
AB
|=
(cosclass="stub"3x
2
-cosclass="stub"x
2
)2+(-sinclass="stub"3x
2
-sinclass="stub"x
2
)2

=
2-2cos2x

=
4sin2x

=-2sinx(∵x∈[-class="stub"π
2
，0])；
（Ⅱ）∵
OA
•
OB
=cos2x=class="stub"1
3
，
∴sin2x=class="stub"1-cos2x
2
=class="stub"1
3
，cos2x=class="stub"1+cos2x
2
=class="stub"2
3

又x∈[-class="stub"π
2
，0]，∴sinx=-
3
3
，cosx=
6
3
.
∴tanx=-
2
2
；
（Ⅲ）f(x)=
AB
2+4λ|
AB
|=4sin2x-8λsinx
=4（sinx-λ）2-4λ2，
∵x∈[-class="stub"π
2
，0]，∴sinx∈[-1，0]，
当-1≤λ≤0时，f（x）的最小值为-4λ2，此时sinx=λ，
当λ＜-1时，f（x）的最小值为4+8λ，此时sinx=-1，
当λ＞0时，f（x）的最小值为0，此时sinx=0．

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