已知x2+px+q<0的解集为{x|-12<x<13},若f(x)=qx2+px+1(1)求不等式f(x)>0的解集.(2)若f(x)<a6恒成立,求a的取值范围.-高二数学

题目简介

已知x2+px+q<0的解集为{x|-12<x<13},若f(x)=qx2+px+1(1)求不等式f(x)>0的解集.(2)若f(x)<a6恒成立,求a的取值范围.-高二数学

题目详情

已知x2+px+q<0的解集为{x|-
1
2
<x<
1
3
},若f(x)=qx2+px+1
(1)求不等式f(x)>0的解集.
(2)若f(x)
a
6
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵(1)x2+px+q<0的解集为{x|<-class="stub"1
2
x<class="stub"1
3
},
∴-class="stub"1
2
class="stub"1
3
是方程x2+px+q=0的两实数根,…2分
由根与系数的关系得:
class="stub"1
3
-class="stub"1
2
=-p
class="stub"1
3
×(-class="stub"1
2
)=q

p=class="stub"1
6
q=-class="stub"1
6
…4分
∵f(x)>0,
∴不等式qx2+px+1>0可化为-class="stub"1
6
x2+class="stub"1
6
x+1>0,
即x2-x-6<0,∴-2<x<3,
∴不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}.…(6分)
(2)依题意,f(x)<class="stub"a
6
,则-class="stub"1
6
x2+class="stub"1
6
x+1<class="stub"a
6
,即x2-x+a-6>0恒成立,…8分
开口向上,所以△=1-4(a-6)<0,…10分
解得a>class="stub"25
4
…(12分)

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