已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135;(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5

题目简介

已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135;(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5

题目详情

已知函数f(x)=
x
1
3
-x-
1
3
5
g(x)=
x
1
3
+x-
1
3
5

(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;
(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5f(3)•g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是关于原点对称的;
f(-x)=
(-x)class="stub"1
3
-(-x)-class="stub"1
3
5
=
-xclass="stub"1
3
+x-class="stub"1
3
5
=-f(x)

∴f(x)是奇函数.(4分)
(Ⅱ)设x1<x2<-1,则:f(x1)-f(x2)═class="stub"1
5
(x1class="stub"1
3
-x2class="stub"1
3
)(1+class="stub"1
x1class="stub"1
3
x2class="stub"1
3
)

xclass="stub"1
3
-x2class="stub"1
3
<0
class="stub"1
x1x2
>0
(class="stub"1
x1x2
)class="stub"1
3
>0
1+class="stub"1
x1class="stub"1
3
x2class="stub"1
3
>0

∴f(x1)-f(x2)<0.即f(x1)<f(x2)且x1<x2
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增.(8分)
(Ⅲ)算得:f(4)-5f(2)•g(2)=0;f(9)-5f(3)•g(3)=0;
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是:f(x2)-5f(x)•g(x)=0(12分)
下面给予证明:∵f(x2)-5f(x)•g(x)=
xclass="stub"2
3
-x-class="stub"2
3
5
-5•
xclass="stub"1
3
-x-class="stub"1
3
5
xclass="stub"1
3
+x-class="stub"1
3
5

=class="stub"1
5
(xclass="stub"2
3
-x-class="stub"2
3
)
-class="stub"1
5
(xclass="stub"2
3
-x-class="stub"2
3
)
=0
∴f(x2)-5f(x)•g(x)=0对所有不等于零的实数x都成立.(14分)

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