已知函数f(x)=x2+4xx≥04x-x2x<0(1)判断函数f(x)奇偶性与单调性,并说明理由;(2)若f(2-a2)>f(a),求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+4xx≥04x-x2x<0(1)判断函数f(x)奇偶性与单调性,并说明理由;(2)若f(2-a2)>f(a),求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x<0

(1)判断函数f(x)奇偶性与单调性,并说明理由;
(2)若f(2-a2)>f(a),求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数为f(x)奇函数
∵函数f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x<0

当x>0时,-x<0
∴f(-x)=4(-x)-(-x)2=-(x2+4x)=-f(x)
当x=0时,-x=0
∴f(-x)=0=-f(x)
当x<0时,-x>0
∴f(-x)=(-x)2+4(-x)-=-(4x-x2)=-f(x)
故f(-x)=-f(x)恒成立
故函数为f(x)奇函数
在区间[0,+∞)上,f'(x)=2x+4>0恒成立
故f(x)在区间[0,+∞)上单调递增
又由奇函数的性质,我们易得函数是定义在R上的单调增函数
(2)由函数f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x<0

是定义在R上的单调增函数
故f(2-a2)>f(a),
可化为2-a2>a
解得:-2<a<1

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