首页 > 已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．-高二数

已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．-高二数

题目简介

已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．-高二数

题目详情

已知函数f(x)=
ax+b
x2+1
在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）将x=1代入切线方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=class="stub"a+b
2
，化简得a+b=0．
f′(x)=
a(x2+1)-(ax+b)•2x
(1+x2)2
，f′(1)=
2a-2(a+b)
4
=class="stub"-2b
4
=class="stub"-b
2
=1．
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=class="stub"2x-2
x2+1
．
（Ⅱ）证明：要证lnx≥class="stub"2x-2
x2+1
在[1，+∞）上恒成立，
即证（x2+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即证x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，则h′(x)=2xlnx+x+class="stub"1
x
-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+class="stub"1
x
≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

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