首页 > 已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥b24+1，且f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为______．-高二数学

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥b24+1，且f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为______．-高二数学

题目简介

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥b24+1，且f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为______．-高二数学

题目详情

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥
b2
4
+1，且f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵c≥
b2
4
+1≥2×
|b|
2
×1知，c≥|b|，
当c＞|b|时，有M≥
f(c)-f(b)
c2-b2
=
c2-b2+bc-b2
c2-b2
=class="stub"c+2b
b+c
，
令t=class="stub"b
c
，则-1＜t＜1，class="stub"c+2b
b+c
=2-class="stub"1
1+t
，
∵函数g（t）=2-class="stub"1
1+t
（-1＜t＜1）为增函数，
∴该函数的值域是（-∞，class="stub"3
2
）；
∴当c＞|b|时，M的取值集合为[class="stub"3
2
，+∞）；
当c=|b|时，由c≥
b2
4
+1知，b=±2，c=2，此时f（c）-f（b）=-8或0，
c2-b2=0，从而f（c）-f（b）≤class="stub"3
2
（c2-b2）恒成立；
综上所述，M的最小值为class="stub"3
2
．
故答案为：class="stub"3
2
．

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