首页 > 设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．（Ⅰ）若函数y=f(2x)e-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；（Ⅱ）记

设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．（Ⅰ）若函数y=f(2x)e-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；（Ⅱ）记

题目简介

设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．（Ⅰ）若函数y=f(2x)e-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；（Ⅱ）记

题目详情

设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
（Ⅰ）若函数y=
f(2x)
e
-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x0，同时满足：（i）x0是函数h（x）的零点；（ii）h′（x0）=0．试确定x0、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（Ⅰ）∵y=
f(2x)
e
-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y′=2e2x-1-2a，
当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）
此时由2e2x-1-2a=0得：x=class="stub"1
2
（lna+1），且x＞class="stub"1
2
（lna+1）时，y'＞0
x＜x＞class="stub"1
2
（lna+1）时，y'＜0，
∴x∈（-∞，class="stub"1
2
（lna+1））时，函数为减函数，
x∈（class="stub"1
2
（lna+1），+∞）时，函数为增函数，
∴ymin=a-2a•class="stub"1
2
(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)
（Ⅱ）∵h（x）=ex+2n-n（x2+4x+5），∴h'（x）=ex+2n-2nx-4n，
∵
{h(x0)=0h′(x0)=0
，
{ex0+2n=2nx0+4n(1)ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)
，
∴nx02+4nx0+5n=2nx0+4n由（1）知n≠0，∴2x0+4=x02+4x0+5，∴（x0+1）2=0∴x0=-1（9分）
代入（1）有e2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且当x=class="stub"1
2
(lna+1)=class="stub"1
2
取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=class="stub"1
2
，∴x0=-1，n=class="stub"1
2
(11分)∵h(x)=ex+1-class="stub"1
2
(x2+4x+5)，∴设R(x)=h′(x)=ex+1-x-2，R'（x）=ex+1-1，（12分）
∴x≥-1时，R'（x）≥0，x＜-1时，R'（x）＜0x=-1时，R（x）min=0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）

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