已知函数f(x)=1x2.(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1x2的单调区间.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1x2.(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;(2)写出函数f(x)=1x2的单调区间.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
x2

(1)判断f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并用定义证明;
(2)写出函数f(x)=
1
x2
的单调区间.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)在区间(0,+∞)为单调减函数.证明如下:
设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=class="stub"1
x12
-class="stub"1
x22 
=
x22-x12
x12x22
=
(x2+x2)(x2-x1)    
x12x22

因为0<x1<x2,所以(x1x2)2>0,x2-x1>0,x2+x1>0,即
(x2+x2)(x2-x1)   
x12x22
>0.
所以f(x1)-f(x2)>0,即所以f(x1)>f(x2),f(x)在区间(0,+∞)为单调减函数.
(2)f(x)=class="stub"1
x2
 的单调减区间(0,+∞);f(x)=class="stub"1
x2
的单调增区间(-∞,0).

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