首页 > 已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a，b的夹角为60°，m=2xa+7b，n=a+xb，x∈R．（1）若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；（2）设函数f（x）=m•n，求f（x）在[-1

已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a，b的夹角为60°，m=2xa+7b，n=a+xb，x∈R．（1）若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；（2）设函数f（x）=m•n，求f（x）在[-1

题目简介

已知两个向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a，b的夹角为60°，m=2xa+7b，n=a+xb，x∈R．（1）若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；（2）设函数f（x）=m•n，求f（x）在[-1

题目详情

已知两个向量
a
，
b
满足|
a
|=2，|
b
|=1，
a
，
b
的夹角为60°，
m
=2x
a
+7
b
，
n
=
a
+x
b
，x∈R．
（1）若
m
，
n
的夹角为钝角，求x的取值范围；
（2）设函数f（x）=
m
•
n
，求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）
a
•
b
=|a||b|cos60°=2×1×cos60°=1，
m
，
n
的夹角为钝角，得
m
•
n
＜0，且
m
≠λ
n

∴
m
•
n
=（2x
a
+7
b
）•（
a
+x
b
）=2x
a
2+2
a
•
b
+2x2
a
•
b
+7
b
2
=8x+2x2+7+7x
=2x2+15x+7＜0
解得-7＜x＜-class="stub"1
2
，
m
≠λ
n

可得
2x≠λ
7≠λx
，解得x≠-
14
2

∴x的取值范围是(-7，-
14
2
)∪(-
14
2
，-class="stub"1
2
)；
（2）由（1）得f(x)=2x2+15x+7=2(x+class="stub"15
4
)2-class="stub"169
8
，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f（x）min=f（-1）=2-15+7=-1，f（x）max=f（1）=2+15+7=24．

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