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设函数f（x）=a2x-(t-1)ax（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3

题目简介

设函数f（x）=a2x-(t-1)ax（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3

题目详情

设函数f（x）=
a2x-(t-1)
ax
（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的反函数过点(
3
2
，1)，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）=
a2x-(t-1)
ax
（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即
a0-(t-1)
a0
=0，
∴t=2；
（2）由（1）可知，t=2，
∴f（x）=
a2x-1
ax
，
∵f（1）＞0，
∴
a2-1
a
＞0，即
(a+1)(a-1)
a
＞0，
又∵a＞0，
∴a＞1，
∵f（x）为奇函数，
∴-f（x-1）=f（1-x），
∴不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立，即f（kx-x2）＜f（1-x）对一切x∈R恒成立，
∵a＞1，则y=ax在R上为单调递增函数，
∴f（x）=
a2x-1
ax
=ax-class="stub"1
ax
在R上为单调递增函数，
∴kx-x2＜1-x对一切x∈R恒成立，即x2-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，
∴△=（k+1）2-4＜0，即k2+2k-3＜0，
∴-3＜k＜1，
∴实数k的取值范围为-3＜k＜1；
（3）假设存在正数m，且m≠1符合题意，
∵函数f（x）的反函数过点（class="stub"3
2
，1），
∴class="stub"3
2
=
a2-1
a
，
∴a=-class="stub"1
2
或a=2，
∵a＞0，
∴a=2，
∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]，
∴g（x）=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，
令t=2x-2-x，
∴（2x-2-x）-m（2x-2-x）+2=t2-mt+2，
∵x∈[1，log23]，
∴t∈[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]，
记h（t）=t2-mt+2，
∵函数g（x）=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，
①当0＜m＜1时，y=logmh（t）是单调递减函数，
∴函数h（t）=t2-mt+2在[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]有最小值1，
∵对称轴t=class="stub"m
2
＜class="stub"1
2
，
∴函数h（t）在[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]上单调递增，
∴h（t）min=h（class="stub"3
2
）=class="stub"17
4
-class="stub"3
2
m=1，
∴m=class="stub"13
6
，
∵0＜m＜1，
∴m=class="stub"13
6
不符合题意；
②当m＞1时，则函数h（t）＞0在[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
∵函数h（t）=t2-mt+2在[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]有最大值1，h（t）的对称轴为x=class="stub"m
2
，
（i）当class="stub"m
2
＜class="stub"25
12
，即m＜class="stub"25
6
时，
当t=class="stub"8
3
时，h（t）取得最大值h（class="stub"8
3
）=class="stub"82
9
-class="stub"8m
3
=1，
∴m=class="stub"73
24
，
又∵class="stub"m
2
=class="stub"73
48
∈[class="stub"3
2
，class="stub"8
3
]，
∴当t=class="stub"73
48
时，h（t）取得最小值h（class="stub"73
48
）＜0，
∴g（x）在[1，log23]无意义，
∴m=class="stub"73
24
不符合题意；
（ii）当class="stub"m
2
≥class="stub"25
12
，即m≥class="stub"25
6
时，
当t=class="stub"3
2
时，h（t）取得最大值h（class="stub"3
2
）=class="stub"17
4
-class="stub"3m
2
=1，
∴m=class="stub"13
6
，
∵m≥class="stub"25
6
，
∴m=class="stub"13
6
不符合题意．
综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在[1，log23]上的最大值为0．

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