已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数,a为常数)是实数集R上的奇函数,若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点,则实数m的取值范围是()A.(1

题目简介

已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数,a为常数)是实数集R上的奇函数,若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点,则实数m的取值范围是()A.(1

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已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数,a为常数)是实数集R上的奇函数,若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点,则实数m的取值范围是(  )
A.(
1
e
,e2+
1
e
B.(0,e2+
1
e
C.(e2+
1
e
,+∞)
D.(-∞,e2+
1
e
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

∵函数f(x)=ln(ex+a)是实数集R上的奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=ln(1+a)=0,解得a=0,即f(x)=lnex=x.
∴g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)=lnx-x(x2-2ex+m),
由g(x)=lnx-x(x2-2ex+m)=0,得class="stub"lnx
x
=x2-2ex+m,
设h(x)=class="stub"lnx
x
,m(x)=x2-2ex+m,
则m(x)=(x-e)2+m-e2≥m-e2,
h'(x)=class="stub"1-lnx
x2
,由h'(x)>0,得0<x<e,此时函数单调递增,
由h'(x)<0,得x>e,此时函数单调递减,
∴当x=e时,函数h(x)取得最大值h(e)=class="stub"lne
e
=class="stub"1
e

要使g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点,
class="stub"1
e
>m-e2
,即m<class="stub"1
e
+e2

故选D.

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