首页 > 对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．（1）试求函数f

对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．（1）试求函数f

题目简介

对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．（1）试求函数f

题目详情

对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009-1＜ln2009＜T2008．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设
x2+a
bx-c
=x⇒（1-b）x2+cx+a=0（b≠1）
⇒
2+0=-class="stub"c
1-b
2×0=class="stub"a
1-b
，∴
a=0
b=1+class="stub"c
2
，∴f（x）=
x2
(1+class="stub"c
2
)x-c

由f（-2）=class="stub"-2
1+c
＜-class="stub"1
2
⇒-1＜c＜3，又∵b，c∈N*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=
x2
2(x-1)
（x≠1）…（3分）
于是f′（x）=
2x•2(x-1)-x2•2
4(x-1)2
=
x2-2x
2(x-1)2

由f′（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2Sn=an-an2，当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12
两式相减得（an+an-1）（an-an-1+1）=0，∴an=-an-1或an-an-1=-1，
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，若an=-an-1，则a2=1这与an≠1矛盾
∴an-an-1=-1，∴an=-n                       …（6分）
于是，待证不等式即为class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
．
为此，我们考虑证明不等式class="stub"1
x+1
＜lnclass="stub"x+1
x
＜class="stub"1
x
，x＞0．
令1=class="stub"1
x
=t，x＞0，则t＞1，x=class="stub"1
t-1
，
再令g（t）=t-lnt，g′（t）=1-class="stub"1
t
，
    由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0．
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，
  于是t-1＞lnt，即class="stub"1
x
＞lnclass="stub"x+1
x
，x＞0    　　　 ①
令h（t）=lnt-1+class="stub"1
t
，h′（t）=class="stub"1
t
-class="stub"1
t2
=class="stub"t-1
t2
，
由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-class="stub"1
t
即lnclass="stub"x+1
x
＞class="stub"1
x+1
，x＞0　　　　 ②
由①、②可知class="stub"1
x+1
＜lnclass="stub"x+1
x
＜class="stub"1
x
，x＞0                  …（10分）
所以，class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
，即-class="stub"1
an+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜-class="stub"1
an
       …（11分）
（3）由（2）可知bn=class="stub"1
n
   则Tn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n

在class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
中令n=1，2，3，…2008，并将各式相加得
class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2009
＜lnclass="stub"2
1
+lnclass="stub"3
2
+…+lnclass="stub"2009
2008
＜1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2008

即T2009-1＜ln2009＜T2008．                         …（14分）

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