已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)试判断方程ln(1+x2)-12f(x)-k=0有几个

题目简介

已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)试判断方程ln(1+x2)-12f(x)-k=0有几个

题目详情

已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,
(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)试判断方程ln(1+x2)-
1
2
f(x)-k=0
有几个实根.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,
即2xlnx+x2-ax+3≥0在x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤2lnx+x+class="stub"3
x
在x∈(0,+∞)恒成立,
F(x)=2lnx+x+class="stub"3
x
,则F′(x)=class="stub"2
x
+1-class="stub"3
x2
=
(x+3)(x-1)
x2
,F'(x)=0时x=1,F(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,∴Fmin=F(1)=4,∴只需a≤4.
(2)将原方程化为ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1=k

G(x)=ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1
,为偶函数,且G(0)=1,x>0时G′(x)=
-x(x+1)(x-1)
x2+1


∴G(x)max=class="stub"1
2
+ln2,且x→+∞,y→-∞∴k>class="stub"1
2
+ln2
时,无解;k=class="stub"1
2
+ln2
或k=1时,三解;1<k<class="stub"1
2
+ln2
,四解;k<1时,两解.

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