首页 > 已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象按向量m平移后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)在[2，2]上的最小值为h（a），求

已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象按向量m平移后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)在[2，2]上的最小值为h（a），求

题目简介

已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象按向量m平移后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)在[2，2]上的最小值为h（a），求

题目详情

已知向量
m
=(
1
a
，
1
2a
)(a＞0)，将函数f(x)=
1
2
ax2-a的图象按向量
m
平移后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)在[
2
，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得
x′=x+class="stub"1
a
y′=y-class="stub"1
2a

∴
x=x′-class="stub"1
a
y=y′+class="stub"1
2a
代入函数y=f(x)=class="stub"1
2
ax2-a中，
得y′+class="stub"1
2a
=class="stub"1
2
a(x′-class="stub"1
a
)2-a.
∴函数y=g（x）的表达式为g(x)=class="stub"1
2
a(x-class="stub"1
a
)2-a-class="stub"1
2a
.
（Ⅱ）函数g（x）的对称轴为x=class="stub"1
a
＞0.
①当0＜class="stub"1
a
＜
2
即a＞
2
2
时，函数g（x）在[
2
，2]上为增函数，
∴h(a)=g(
2
)=-
2
；
②当
2
≤class="stub"1
a
≤2即class="stub"1
2
≤a≤
2
2
时，h(a)=g(class="stub"1
a
)=-a-class="stub"1
2a
.
∴h(a)=-a-class="stub"1
2a
=-(a+class="stub"1
2a
)≤-2
a•class="stub"1
2a
=-
2

当且仅当a=
2
2
时取等号；
③当class="stub"1
a
＞2即0＜a＜class="stub"1
2
时，函数g（x）在[
2
，2]上为减函数，
∴h(a)=g(2)=a-2＜class="stub"1
2
-2=-class="stub"3
2
.
综上可知，h(a)=
-
2
，a＞
2
2
-a-class="stub"1
2a
class="stub"1
2
≤a≤
2
2
.
a-2，0＜a＜class="stub"1
2

∴当a=
2
2
时，函数h（a）的最大值为h(
2
2
)=-
2
.

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