已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].
(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;
(2)若函数f(x)的最大值为
1
2
,求实数λ的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设2x=t,
∵函数f(x)=λ•2x-4x=-(2x)2+λ•2x定义域为[0,1],
∴2x∈[1,2],y=-t2+λt,t∈[1.2],
∵函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,
∴y=-t2+λt在[1.2]是减函数,
∴t=class="stub"λ
2
≤1,解得λ≤2,
∴实数λ的取值范围是(-∞,2].
(2)∵函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1],最大值为class="stub"1
2

由(1)知,y=-t2+λt=-(t-class="stub"λ
2
)2+
λ2
4
,t∈[1.2],
∴对称轴方程为t=class="stub"λ
2

①当class="stub"λ
2
1时,y=-(t-class="stub"λ
2
)2+
λ2
4
在[1.2]是减函数,
∴当t=1时,y取最大值ymax=-(1-class="stub"λ
2
)2+
λ2
4
=class="stub"1
2
,解得λ=class="stub"3
2

②当1≤class="stub"λ
2
2时,当t=class="stub"λ
2
时,y取最大值ymax=-(class="stub"λ
2
-class="stub"λ
2
)2+
λ2
4
=class="stub"1
2
,解得λ=±
2
,(舍)
③当class="stub"λ
2
>2
时,当t=2时,y取最大值ymax=-(2-class="stub"λ
2
)2+
λ2
4
=class="stub"1
2
,解得λ=class="stub"9
4

综上所述,实数λ的值为class="stub"3
2
,或class="stub"9
4

更多内容推荐