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> 已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学
已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学
题目简介
已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学
题目详情
已知函数f(x)=λ•2
x
-4
x
的定义域为[0,1].
(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;
(2)若函数f(x)的最大值为
1
2
,求实数λ的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)设2x=t,
∵函数f(x)=λ•2x-4x=-(2x)2+λ•2x定义域为[0,1],
∴2x∈[1,2],y=-t2+λt,t∈[1.2],
∵函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,
∴y=-t2+λt在[1.2]是减函数,
∴t=
class="stub"λ
2
≤1,解得λ≤2,
∴实数λ的取值范围是(-∞,2].
(2)∵函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1],最大值为
class="stub"1
2
,
由(1)知,y=-t2+λt=-(t-
class="stub"λ
2
)2+
λ
2
4
,t∈[1.2],
∴对称轴方程为t=
class="stub"λ
2
,
①当
class="stub"λ
2
<
1时,y=-(t-
class="stub"λ
2
)2+
λ
2
4
在[1.2]是减函数,
∴当t=1时,y取最大值
y
max
=-(1-
class="stub"λ
2
)
2
+
λ
2
4
=
class="stub"1
2
,解得
λ=
class="stub"3
2
.
②当1
≤
class="stub"λ
2
≤
2时,当t=
class="stub"λ
2
时,y取最大值ymax=-(
class="stub"λ
2
-
class="stub"λ
2
)2+
λ
2
4
=
class="stub"1
2
,解得
λ=±
2
,(舍)
③当
class="stub"λ
2
>2
时,当t=2时,y取最大值ymax=-(2-
class="stub"λ
2
)2+
λ
2
4
=
class="stub"1
2
,解得
λ=
class="stub"9
4
.
综上所述,实数λ的值为
class="stub"3
2
,或
class="stub"9
4
.
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题目简介
已知函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1].(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;(2)若函数f(x)的最大值为12,求实数λ的值.-数学
题目详情
(1)若函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围;
(2)若函数f(x)的最大值为
答案
∵函数f(x)=λ•2x-4x=-(2x)2+λ•2x定义域为[0,1],
∴2x∈[1,2],y=-t2+λt,t∈[1.2],
∵函数f(x)在[0,1]上是单调递减函数,
∴y=-t2+λt在[1.2]是减函数,
∴t=
∴实数λ的取值范围是(-∞,2].
(2)∵函数f(x)=λ•2x-4x的定义域为[0,1],最大值为
由(1)知,y=-t2+λt=-(t-
∴对称轴方程为t=
①当
∴当t=1时,y取最大值ymax=-(1-
②当1≤
③当
综上所述,实数λ的值为