已知f(x)=loga(4x+ax)在区间[1,2]上为增函数,则a的取值范围是______.-数学

题目简介

已知f(x)=loga(4x+ax)在区间[1,2]上为增函数,则a的取值范围是______.-数学

题目详情

已知f(x)=loga(4x+
a
x
)
在区间[1,2]上为增函数,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=loga(4x+class="stub"a
x
)
可看作由y=logat与t=4x+class="stub"a
x
复合而成的,x∈[1,2]时,4x+class="stub"a
x
>0.
①当a>1时,y=logat单调递增,因为f(x)单调递增,则须有t=4x+class="stub"a
x
,x∈[1,2],单调递增,
所以t′=4-class="stub"a
x2
≥0即a≤4x2在x∈[1,2]上恒成立,所以a≤4×12=4,则1<a≤4;
②当时,y=logat单调递减,因为f(x)单调递增,则须有t=4x+class="stub"a
x
,x∈[1,2],单调递减,
所以t′=4-class="stub"a
x2
≤0即a≥4x2在x∈[1,2]上恒成立,所以a≥4×22=16,与0<a<1矛盾.
综上,a的取值范围是(1,4].
故答案为:(1,4].

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