已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数

题目简介

已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数

题目详情

已知函数f(x)=
x2+1
-ax
,其中a>0.
(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;
(2)当a≥1时,判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;
(3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:浦东新区一模

答案

(1)由2f(1)=f(-1),可得:2
2
-2a=
2
+a
3a=
2
a=
2
3
…(4分)
(2)若a≥1,任取0≤x1<x2f(x1)-f(x2)=
x12+1
-ax1-
x22
+1
+ax2=
x12+1
-
x22
+1
-a(x1-x2)

=
x21
-
x22
x21
+1
+
x22
+1
-a(x1-x2)
=(x1-x2)(
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
-a)
…(6分)
因为0≤x1
x21
+1
0<x2
x22
+1
,所以0<
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
<1
…(8分)
因为a≥1,则f(x1)-f(x2)>0,f(x)在[0,+∞)单调递减     …(10分)
(3)任取1≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
-a)
,因为f(x)单调递增,
所以f(x1)-f(x2)<0,又x1-x2<0,那么
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
-a
>0恒成立 (12分)
2
2
x1+x2
x21
+1
+
x22
+1
<1
,…(14分)   所以0<a≤
2
2
…(16分)

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