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> 已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学
已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学
题目简介
已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学
题目详情
已知函数f(x)=ax+
b
x
+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
(I)用a表示出b,c;
(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:湖北
答案
y(Ⅰ)
f′(x)=a-
class="stub"b
x
2
,
则有
f(l)=a+b+c=0
f′(l)=a-b=1
,
解得
b=a-1
c=l-2a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f(x)=ax+
class="stub"a-1
x
+1-2a
,
令g(x)=f(x)-lnx=ax+
class="stub"a-1
x
+1-2a-lnx,x∈[1,+∞)
则g(l)=0,
g′(x)=a-
class="stub"a-1
x
2
-
class="stub"1
x
=
a
x
2
-x-(a-1)
x
2
=
a(x-1)(x-
class="stub"1-a
a
)
x
2
(i)当
o<a<
class="stub"1
2
,
class="stub"1-a
a
>1
若
1<x<
class="stub"1-a
a
,则g′(x)<0,g(x)是减函数,
所以g(x)<g(l)=0,f(x)>lnx,故f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒不成立.
(ii)
a≥
class="stub"1
2
时,
class="stub"1-a
a
≤l
若f(x)>lnx,故当x≥1时,f(x)≥lnx
综上所述,所求a的取值范围为
[
class="stub"1
2
,+∞)
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已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学
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