已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ax+
b
x
+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
(I)用a表示出b,c;
(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:湖北

答案

y(Ⅰ)f′(x)=a-class="stub"b
x2

则有
f(l)=a+b+c=0
f′(l)=a-b=1

解得
b=a-1
c=l-2a


(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=ax+class="stub"a-1
x
+1-2a

令g(x)=f(x)-lnx=ax+class="stub"a-1
x
+1-2a-lnx,x∈[1,+∞)
则g(l)=0,g′(x)=a-class="stub"a-1
x2
-class="stub"1
x
=
ax2-x-(a-1)
x2
=
a(x-1)(x-class="stub"1-a
a
)
x2

(i)当o<a<class="stub"1
2
class="stub"1-a
a
>1

1<x<class="stub"1-a
a
,则g′(x)<0,g(x)是减函数,
所以g(x)<g(l)=0,f(x)>lnx,故f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒不成立.
(ii)a≥class="stub"1
2
时,class="stub"1-a
a
≤l

若f(x)>lnx,故当x≥1时,f(x)≥lnx
综上所述,所求a的取值范围为[class="stub"1
2
,+∞)

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