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> 已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前
已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前
题目简介
已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前
题目详情
已知函数
F(x)=
3x+1
2x-1
,(x≠
1
2
)
.
(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求
F(
1
2009
)+F(
2
2009
)+…+F(
2008
2009
)
;
(Ⅱ).已知等差数列{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别为S
n
与T
n
,且
S
n
T
n
=F(n)
.当m>n时,比较
a
m
b
m
与
a
n
b
n
的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,已知a
1
=2,数列{b
n
}的公差为d=2.探究在数列{a
n
}与{b
n
}中是否有相等的项,若有,求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{c
n
}的通项公式;若没有,请说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:韶关一模
答案
(Ⅰ)因为
F(x)+F(1-x)=
class="stub"3x+1
2x-1
+
3(1-x)+1
2(1-x)-1
=3
(2分)
所以设S=
F(
class="stub"1
2009
)+F(
class="stub"2
2009
)++F(
class="stub"2008
2009
)
;(1)
S=
F(
class="stub"2008
2009
)+F(
class="stub"2007
2009
)++F(
class="stub"1
2009
)
(2)
(1)+(2)得:
2S={F(
class="stub"1
2009
)+F(
class="stub"2008
2009
)}+{F(
class="stub"2
2009
)+F(
class="stub"2007
2009
)}++{F(
class="stub"2008
2009
)+F(
class="stub"1
2009
)}
=3×2008=6024,
所以S=3012(5分)
(Ⅱ)因为
S
2n-1
=
(
a
1
+
a
2n-1
)(2n-1)
2
=
(
a
n
+
a
n
)(2n-1)
2
=(2n-1)
a
n
所以
a
n
=
S
2n-1
2n-1
;同理
b
n
=
T
2n-1
2n-1
.(7分)
所以
a
n
b
n
=
S
2n-1
T
2n-1
;
a
m
b
m
=
S
2n-1
T
2n-1
所以当m>n≥1时,
a
m
b
m
-
a
n
b
n
=
S
2m-1
T
2m-1
-
S
2n-1
T
2n-1
=
3(2m-1)+1
2(2m-1)-1
-
3(2n-1)+1
2(2n-1)-1
=
class="stub"6m-2
4m-3
-
class="stub"6n-2
4n-3
=
(6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3)
(4m-3)(4n-3)
=
10(n-m)
(4m-3)(4n-3)
<0
,∴
a
m
b
m
<
a
n
b
n
(10分)
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,当a1=2,d=2时
S
n
T
n
=
2n+
n(n-1)
d
1
2
n
b
1
+
n(n-1)•2
2
=
d
1
n-
d
1
+4
2n-2+2
b
1
=
class="stub"3n+1
2n-1
所以{-2+2b1=-1
d
1
=3
d1=3
所以
a
n
=2+(n-1)×3=3n-1;
b
n
=
class="stub"1
2
+(n-1)×2=2n-
class="stub"3
2
(12分)
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等,
即
a
n
=
b
k
⇒3n-1=2k-
class="stub"3
2
⇒n=
class="stub"4k-1
6
因为4k-1为奇数,6为偶数,所以
n=
class="stub"4k-1
6
不是整数,
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项.(14分)
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x
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函数f(x)=的图象()A.关于x轴对
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题目简介
已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前
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(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,已知a1=2,数列{bn}的公差为d=2.探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项,若有,求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式;若没有,请说明理由.
答案
所以设S=F(
S=F(
(1)+(2)得:2S={F(
=3×2008=6024,
所以S=3012(5分)
(Ⅱ)因为S2n-1=
所以an=
所以
所以当m>n≥1时,
=
=
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,当a1=2,d=2时
所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1;bn=
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等,
即an=bk⇒3n-1=2k-
因为4k-1为奇数,6为偶数,所以n=
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项.(14分)