已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前

题目简介

已知函数F(x)=3x+12x-1,(x≠12).(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009);(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前

题目详情

已知函数F(x)=
3x+1
2x-1
,(x≠
1
2
)

(Ⅰ)证明:F(x)+F(1-x)=3,并求F(
1
2009
)+F(
2
2009
)+…+F(
2008
2009
)

(Ⅱ).已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且
Sn
Tn
=F(n)
.当m>n时,比较
am
bm
an
bn
的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,已知a1=2,数列{bn}的公差为d=2.探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项,若有,求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式;若没有,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:韶关一模

答案

(Ⅰ)因为F(x)+F(1-x)=class="stub"3x+1
2x-1
+
3(1-x)+1
2(1-x)-1
=3
(2分)
所以设S=F(class="stub"1
2009
)+F(class="stub"2
2009
)++F(class="stub"2008
2009
)
;(1)
S=F(class="stub"2008
2009
)+F(class="stub"2007
2009
)++F(class="stub"1
2009
)
(2)
(1)+(2)得:2S={F(class="stub"1
2009
)+F(class="stub"2008
2009
)}+{F(class="stub"2
2009
)+F(class="stub"2007
2009
)}++{F(class="stub"2008
2009
)+F(class="stub"1
2009
)}

=3×2008=6024,
所以S=3012(5分)
(Ⅱ)因为S2n-1=
(a1+a2n-1)(2n-1)
2
=
(an+an)(2n-1)
2
=(2n-1)an

所以an=
S2n-1
2n-1
;同理bn=
T2n-1
2n-1
.(7分)
所以
an
bn
=
S2n-1
T2n-1
am
bm
=
S2n-1
T2n-1

所以当m>n≥1时,
am
bm
-
an
bn
=
S2m-1
T2m-1
-
S2n-1
T2n-1
=
3(2m-1)+1
2(2m-1)-1
-
3(2n-1)+1
2(2n-1)-1

=class="stub"6m-2
4m-3
-class="stub"6n-2
4n-3
=
(6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3)
(4m-3)(4n-3)

=
10(n-m)
(4m-3)(4n-3)
<0
,∴
am
bm
an
bn
(10分)

(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,当a1=2,d=2时
Sn
Tn
=
2n+
n(n-1)d1
2
nb1+
n(n-1)•2
2
=
d1n-d1+4
2n-2+2b1
=class="stub"3n+1
2n-1

所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1;bn=class="stub"1
2
+(n-1)×2=2n-class="stub"3
2
(12分)
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等,
an=bk⇒3n-1=2k-class="stub"3
2
⇒n=class="stub"4k-1
6

因为4k-1为奇数,6为偶数,所以n=class="stub"4k-1
6
不是整数,
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项.(14分)

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