首页 > 已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求b的取值范围；（3）设h(x)=log9(a•3x-43a

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求b的取值范围；（3）设h(x)=log9(a•3x-43a

题目简介

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求b的取值范围；（3）设h(x)=log9(a•3x-43a

题目详情

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=
1
2
x+b没有交点，求b的取值范围；
（3）设h(x)=log9(a•3x-
4
3
a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），
即log9（9-x+1）-kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9
9x+1
9x
-log9(9x+1)=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-class="stub"1
2
．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-class="stub"1
2
x=class="stub"1
2
x+b即方程log9（9x+1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log9
9x+1
9x
=log9(1+class="stub"1
9x
)
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜9x1＜9x2，从而class="stub"1
9x1
＞class="stub"1
9x2
．
于是log9(1+class="stub"1
9x1
)＞log9(1+class="stub"1
9x2
)，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+class="stub"1
9x
＞1，所以g(x)=log9(1+class="stub"1
9x
)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3x+class="stub"1
3x
=a•3x-class="stub"4
3
a有且只有一个实数根．
令3x=t＞0，则关于t的方程(a-1)t2-class="stub"4
3
at-1=0（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则t=-class="stub"3
4
，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0⇒a=class="stub"3
4
或-3；但a=class="stub"3
4
⇒t=-class="stub"1
2
，不合，舍去；而a=-3⇒t=class="stub"1
2
；
方程（*）的两根异号⇔（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．

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