首页 > 对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+

对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+

题目简介

对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+

题目详情

对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足a1=p∈[0， 
1
2
)，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
2009
2n
，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，
得T=6
所以，数列{an}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数--（2分）
又由 
an+2=an+1-an
S2=1007
S3=2010
，
得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0，
且数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以，S6n=0，
所以 S2009=S5=a3=1003--（3分）
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，
即{an}是周期数列--（5分）
当p≠0，p∈(0，class="stub"1
2
)时，
an+1=-2
a2n
+2an═-2(an-class="stub"1
2
)2+class="stub"1
2
∈(0，class="stub"1
2
)
由已知a1=p∈[0， class="stub"1
2
)，
且an+1=-2an2+2an，
可得a2∈[0，class="stub"1
2
)，
依此类推可得a_∈[0，class="stub"1
2
)（n∈N*）
所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an
即数列{an}是递增数列，非周期数列；--（8分）
（3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007，
所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，
且数列{an}是周期为6的周期数列，
所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005，
且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2，
a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，--（9分）
而当n≥12时，class="stub"2009
2n
∈(0，class="stub"1
2
)，
bn=an+2n+class="stub"2009
2n
≥2n-1005+class="stub"2009
2n
＞2009，
即2n≥2009+1005=30142n+class="stub"2009
2n
≥1004，
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有bn＞2009；--（12分）
又b1506=a1506+2×1506+class="stub"2009
21506
=2009+class="stub"2009
21506
＞2009b1505=a1505+2×1505+class="stub"2009
21505
=2007+class="stub"2009
21506
＜2009--（13分）
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有bm＞2009．--（14分）

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