首页 > 已知向量m=(3sinωx，0)，n=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=m•(m+n)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为π4，且当x∈[0，π3]时f（x）的最小值为32

已知向量m=(3sinωx，0)，n=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=m•(m+n)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为π4，且当x∈[0，π3]时f（x）的最小值为32

题目简介

已知向量m=(3sinωx，0)，n=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=m•(m+n)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为π4，且当x∈[0，π3]时f（x）的最小值为32

题目详情

已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
，且当x∈[0，
π
3
]时f（x）的最小值为
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
m
+
n
=(
3
sinωx+cosωx，-sinωx)，
∴f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t=
3
sinωx(
3
sinωx+cosωx)+t 
=3sin2ωx+
3
sinωxcosωx+t=
3(1-cos2ωx)
2
+
3
2
sin2ωx+t=
3
2
sin2ωx-class="stub"3
2
cos2ωx+class="stub"3
2
+t=
3
sin(2ωx-class="stub"π
3
)+class="stub"3
2
+t，
由题意可得class="stub"T
4
=class="stub"π
4
，∴ω=1． 
∵0≤x≤class="stub"π
3
，∴-class="stub"π
3
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"π
3
．
 又f（x）的最小值为class="stub"3
2
=
3
×（-
3
2
）+class="stub"3
2
+t，
∴t=class="stub"3
2
，
故 f(x)=
3
sin(2x-class="stub"π
3
)+3．
（2）令-class="stub"π
2
+2kπ≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ，k∈Z，可得-class="stub"π
6
+2kπ≤2x≤class="stub"5π
6
+2kπ，k∈Z，
∴-class="stub"π
12
+kπ≤x≤class="stub"5π
12
+kπ，k∈Z，
即单调递增区间为：[-class="stub"π
12
+kπ，class="stub"5π
12
+kπ]，k∈Z．
（3）当x∈[0，class="stub"π
3
]时，f（x）的最大值为 
3
×（
3
2
）+class="stub"3
2
+class="stub"3
2
=class="stub"9
2
，最小值为class="stub"3
2
，
∴|f（x1）-f（x2）|的最大值为class="stub"9
2
-class="stub"3
2
=3．
∵对任意x1，x2∈[0，class="stub"π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．

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