已知函数f(x)=sinxcosϕ+cosxsinϕ(其中x∈R,0<φ<π),且函数y=f(2x+π4)的图象关于直线x=π6对称.(I)求f(x)的最小正周期及φ的值;(Ⅱ)若f(α-2π3)=2

题目简介

已知函数f(x)=sinxcosϕ+cosxsinϕ(其中x∈R,0<φ<π),且函数y=f(2x+π4)的图象关于直线x=π6对称.(I)求f(x)的最小正周期及φ的值;(Ⅱ)若f(α-2π3)=2

题目详情

已知函数f(x)=sinxcosϕ+cosxsinϕ(其中x∈R,0<φ<π),且函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称.
(I)求f(x)的最小正周期及φ的值;
(Ⅱ)若f(α-
3
)=
2
4
,求sin2α的值.
题型:解答题难度:中档来源:河东区二模

答案

(I)∵f(x)=sin(x+φ),∴f(x)的最小正周期为2π,
∵y=f(2x+class="stub"π
4
)=sin(2x+class="stub"π
4
+φ),y=sinx的对称轴为x=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z),
∴令2x+class="stub"π
4
+φ=kπ+class="stub"π
2
,将x=class="stub"π
6
代入得:φ=kπ-class="stub"π
12
(k∈Z),
∵0<φ<π,∴φ=class="stub"11π
12

(Ⅱ)∵f(α-class="stub"2π
3
)=sin(α-class="stub"2π
3
+class="stub"11π
12
)=sin(α+class="stub"π
4
)=
2
2
(sinα+cosα)=
2
4

∴sinα+cosα=class="stub"1
2

两边平方得:1+2sinαcosα=1+sin2α=class="stub"1
4

则sin2α=-class="stub"3
4

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