首页 > 已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+1ab≥22，②(a+b)(1a+1b)≥4，③a2+b2ab≥a+b，④2aba+b≥ab，其中一定恒成立的是______（填写序号）．-数学

已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+1ab≥22，②(a+b)(1a+1b)≥4，③a2+b2ab≥a+b，④2aba+b≥ab，其中一定恒成立的是______（填写序号）．-数学

题目简介

已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+1ab≥22，②(a+b)(1a+1b)≥4，③a2+b2ab≥a+b，④2aba+b≥ab，其中一定恒成立的是______（填写序号）．-数学

题目详情

已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+
1
ab
≥2
2
，②(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4，③
a2+b2
ab
≥a+b，④
2ab
a+b
≥
ab
，其中一定恒成立的是______（填写序号）．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由于a，b∈R+，则
①、∵a+b≥2
ab
，当且仅当a=b时取等号，∴2
ab
+class="stub"1
ab
≥2
2
成立，故①正确；
②、(a+b)(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
)=2+class="stub"b
a
+class="stub"a
b
≥4，当且仅当class="stub"b
a
=class="stub"a
b
时取等号，故②正确；
③、∵(
a2+b2
ab
)2-(a+b)2=class="stub"1
ab
[a4+b4+2a2b2-ab（a+b）2]
=class="stub"1
ab
(a4+b4-a3b-ab3)=class="stub"1
ab
[a3(a-b) +b3(b-a)]=class="stub"1
ab
[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=class="stub"1
ab
(a-b)2[(a+class="stub"b
2
)2+
3b2
4
) ]≥0，∴
a2+b2
ab
≥a+b，故③正确；
④、∵a+b≥2
ab
，当且仅当a=b时取等号，∴class="stub"2ab
a+b
≤class="stub"2ab
2
ab
=
ab
，故④不对；
故答案为：①②③．

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