已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+1ab≥22,②(a+b)(1a+1b)≥4,③a2+b2ab≥a+b,④2aba+b≥ab,其中一定恒成立的是______(填写序号).-数学

题目简介

已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+1ab≥22,②(a+b)(1a+1b)≥4,③a2+b2ab≥a+b,④2aba+b≥ab,其中一定恒成立的是______(填写序号).-数学

题目详情

已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+
1
ab
≥2
2
,②(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4
,③
a2+b2
ab
≥a+b
,④
2ab
a+b
ab
,其中一定恒成立的是______(填写序号).
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由于a,b∈R+,则
①、∵a+b≥2
ab
,当且仅当a=b时取等号,∴2
ab
+class="stub"1
ab
≥2
2
成立,故①正确;
②、(a+b)(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
)
=2+class="stub"b
a
+class="stub"a
b
≥4,当且仅当class="stub"b
a
=class="stub"a
b
时取等号,故②正确;
③、∵(
a2+b2
ab
)
2
-(a+b)2
=class="stub"1
ab
[a4+b4+2a2b2-ab(a+b)2]
=class="stub"1
ab
(a4+b4-a3b-ab3)
=class="stub"1
ab
[a3(a-b) +b3(b-a)]
=class="stub"1
ab
(a-b)2(a2+ab+b2) ]

=class="stub"1
ab
(a-b)2[(a+class="stub"b
2
)
2
+
3b2
4
) ]
≥0,∴
a2+b2
ab
≥a+b
,故③正确;
④、∵a+b≥2
ab
,当且仅当a=b时取等号,∴class="stub"2ab
a+b
≤class="stub"2ab
2
ab
=
ab
,故④不对;
故答案为:①②③.

更多内容推荐